元代
四元玉鉴是元代数学家朱世杰所著，于1303年刊行。日本三上义夫曾将本书介绍到国外，其后康南兹也做过英文介绍，比利时赫师慎(L.VanHee)曾将假令四草(本书的一部分)译成法文。陈在新曾将本书译成英文。
重要内容是多元高次方程组和高阶等差级数，在三个方面创立或发展了数学理论，即“四元术”、“垛积术”和“招差术”。
《四元玉鉴》的主要成就是四元术，即四元高次方程组的建立和求解方法。其用“天”、“地”、人”、“物”四字代表四个未知数，系统地介绍了二元、三元、四元高次方程组的布列和解法。解法的关键是消元，将多元高次方程组化成一元高次方程，然后应用增成开方法来解。
《四元玉鉴》中的另一杰出成就是垛积招差术。垛积即高阶等差数列求和，招差即高次内插法，在这两个方面取得了相当重要的结果，比西方同类工作要早400年以上。
它是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价，认为是*数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。但其美中不足的是，在四元玉鉴中，对於一些重要的问题如求解高次联立方程组的消去法等解说过於简略，并且对於书中每一个问题的解法也没有列出详细的演算过程，故比较深奥，人们很难读懂。以致於自朱世杰之後，*这种在数学上高度发展的局面不但没有保持发展下去，反而很多成就在明、清的一段时期内几乎失传。
此外朱世杰将高阶等差级数求和和高次内插法进行了发展。《四元玉鉴》是元代杰出数学家朱世杰的代表作，其中的成果被视为*筹算系统发展的*。
朱世杰（1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。
朱世杰“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》后序）。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。
《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是*宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。
宋元时期，*数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民数学家和数学教育家。朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代*数学家。