分布函数定义

分布函数是概率论中的一个重要概念，也是统计学中常用的一种工具。它是一种描述随机变量的概率分布的函数，通常用F(x)表示。分布函数F(x)定义为随机变量X小于等于x的概率，即：

F(x) = P(X ≤ x)

其中，P表示概率。分布函数F(x)是一个非降函数，即对于任意的x1 < x2，都有F(x1) ≤ F(x2)。同时，它也是一个右连续函数，即对于任意的x，都有F(x+) = F(x)，其中F(x+)表示F(x)的右*。

分布函数具有以下性质：

1. F(x)的值域在[0,1]之间，即0 ≤ F(x) ≤ 1。

2. F(x)是非降函数，即对于任意的x1 < x2，都有F(x1) ≤ F(x2)。

3. F(x)是右连续函数，即对于任意的x，都有F(x+) = F(x)。

4. F(-∞) = 0，F(+∞) = 1。

5. 在任意的x处，F(x)的导数等于x的概率密度函数f(x)，即F'(x) = f(x)。

对于离散随机变量，分布函数可以写成以下形式：

F(x) = P(X ≤ x) = ∑P(X = xi)，其中xi ≤ x

其中，∑表示对所有满足xi ≤ x的xi求和。

对于连续随机变量，分布函数可以写成以下形式：

F(x) = P(X ≤ x) = ∫f(t)dt，其中t从-∞到x

其中，∫表示对所有满足t ≤ x的t求积分。

分布函数在概率论和统计学中具有广泛的应用，它可以用来描述随机变量的分布情况，计算概率和期望等重要参数，同时也是很多概率分布的定义方式之一。